六年级-分数裂项消除

图1｜先试着算一算

分母越来越大，逐个通分会很麻烦。先观察：2、6、12、20……能分别写成哪两个相邻整数的积？

图2｜用放水理解“为什么能消除”

把一满箱水看作 1。
连续放水后，剩下的水依次是水箱的 1/2、1/3、1/4、1/5
求一共放出了多少水

方法1：“原来满满一箱，最后剩下五分之一，一共放出了多少？”
不用逐次相加，直接用：原来的水－最后剩下的水＝1－1/5＝4/5。

方法2：如果用每次放出的量
再看每次放出的量：
1－1/2＝1/2
1/2－1/3＝1/6
1/3－1/4＝1/12
1/4－1/5＝1/20

上面所有式子
1）左边相加就是裂项消除，写成连加的算式，中间的水量一减一加，恰好抵消，只留下最初和最后
2）右边相加就是每次放出的量求和

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1/2＝1－1/2
1/6＝1/2－1/3
1/12＝1/3－1/4
……
9900＝99×100，
1/9900＝1/99－1/100。

于是，原式＝(1－1/2)＋(1/2－1/3)＋(1/3－1/4)＋…＋(1/99－1/100)
＝1－1/100
＝99/100