六年级数学-公因数与公倍数反求两数

已知最大公约数和最小公倍数求两数

图1｜先试着找一找

两个正整数的最大公因数是14，最小公倍数是84，这两个数可能是多少？最大公约数，也叫最大公因数。

课堂上常会用到一个公式： m×n×最大公因数＝最小公倍数。

这里要先说清楚：两个数分别是“最大公因数×m”和“最大公因数×n”，m、n是互质的正整数，不一定都是素数，也可以为1。“互质”是说两数的公因数只有1。

图2｜用积木看懂公共部分

为什么有这个公式？把素数想成“原子积木”，就容易理解了。

每块积木代表一个素因数，拼在一起表示相乘。

18＝2×3×3，30＝2×3×5。

把相同的积木一块块配对：双方都有一个2和一个3，公共部分就是2×3＝6，也就是最大公因数。18里多出的那个3，不能丢掉。

要拼出能同时包含两边所需积木的最小组合，就把公共部分取一份，再放进两边各自剩余的积木：3×2×3×5＝90。这就是最小公倍数。

图3｜倒过来，怎样找两个数？

先给两个数各放一份公共积木6，再把各自剩余积木的乘积记作m、n，于是两个数是6m、6n。

剩余的两边不能再有共同素因数，否则还能配出公共积木，最大公因数就不止6了。这正是m、n必须互质的原因。图中的m、n积木代表一组积木的乘积；没有剩余积木时，这个乘积记作1。

把公共部分只取一份，再乘两边剩余部分：

6×m×n＝90，所以m×n＝15。

回到题目

把公共部分换成14：

14×m×n＝84

m×n＝6

不计交换顺序，6的正整数因数对有：

1和6，互质；2和3，也互质。

因此，两组答案是：

14和84

28和42

如果误把“互质”理解成“两个数都是素数”，就会漏掉14和84。

看懂积木的公共部分与各自剩余，公式才有了来处。